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一路向西
乔治·波利亚是二战时候外侨好意思国的匈牙利裔数学家，以其在数学分析、数论、组合数学和概率论等范围的孝顺而著称；亦然着名的布达佩斯“火星东说念主”之一。波利亚不仅是一位超卓的数学家，亦然一位出色的造就家，他的解题想想和方法论对数学造就产生了深远的影响，其文章之《若何解题》（How to Solve It）被誉为数学造就的经典之作。本文主要先容波利亚的数学想想，涵盖其对数学实质的想考，对数学解题的意志和总结，以及他所提议合情推理的理念。这些数学想想对今天数学沟通和数学造就仍有进犯启发意旨。（本文原文发表于1985年，编者对部分译名进行了校正。）
撰文 | 杨之
好意思国着名数学家、造就家乔治 ·波利亚（George Pólya），1887年12月13日出身于匈牙利的布达佩斯。早在中学时间，他就自大出我方超卓的数学才能。他先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理学和玄学，于1912年在布达佩斯获厄特沃什·罗兰大学（Eötvös Lorand University）博士学位。1914年，他来到苏黎世，在瑞士联邦理工学院任教，至1928年景为该校认真教授，1938年任该校数理学院院长。1940年移居好意思国，先在布朗大学任教，1942年后，一直在斯坦福大学任教，1953年起于今，任该校退休教授。他已年近期颐，是现在活着年事最高的数学家兼造就家。（编者注：波利亚于1985年耗损。）
乔治 ·波利亚（George Pólya，1887.12.13-1985.9.7）
算作别称数学家，波利亚在繁密的数学分支（函数论、变分学、概率论、数论、组合数学）以及诡计数学和应用数学范围中齐颇有建设。以他的姓氏定名的波利亚计数定理是近代组合数学的进犯器具。为庆贺他75岁诞辰而专门出书的《数学分析及关系论题的沟通——献给乔治·波利亚的论文集》[1]热枕飘溢地称颂了他五十年来在数学界所起的指导作用。这本论文聚首列出的波利亚一经发表的二百多篇论文的题目，响应了他对数学所作出的巨大孝顺。
算作别称造就家，波利亚有着丰富的数学造就想想和精深的教学艺术。他对数学想维一般规则的沟通，号称是对东说念主类想想宝库的特殊孝顺。从后生时间起，波利亚就对数学中的发明创造问题感酷爱。靠近一个数学定理和它的奥秘评释，他问我方：数学家是若何发现这个定理的？是什么促使数学家猜想了这个评释？这些问题鼓舞他阅读了多数的数学历史文件，如欧几里得、阿基米德、帕普斯、笛卡尔、牛顿、伯努利、高斯、庞加莱，尤其是欧拉的手稿，深入探索这些着名数学家发现数学说念理的流程和教学。同期，他利用在各级学校任教的契机，有主义地不雅察和沟通学生学习息争题的流程，征集第一手府上，并与心境学家妥洽，在斯坦福大学心境学实验分所进行一系列实验，致力于解题流程中心境特征的不雅察沟通。通过这些不雅察沟通，波利亚酿成了对数学，对数学沟通和发现，对数学教学、学习息争题的稀奇视力，总结出了数学沟通的一般规则，提议了合情推理（plausible reasoning）的逻辑国法。这些后果齐机动地总结在他的天下名著《数学与猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning）[2]、《若何解题》（How to Solve It）[3]、《数学的发现》（Mathematical Discovery）[4, 5]之中。这三部文章接踵出书后，受到平常的宽宥和崇尚，被誉为第二次天下大战后出现的经典文章。
为了犒赏波利亚的了得孝顺，1963年好意思国数学协会授予他以功勋奖（Distinguished Services Award），1968年好意思国造就电影史籍协会授予他以数学物理最高荣誉奖（Top Honor of Mathematics and Physics）。他先后当选为好意思国国度科学院院士和法国科学院通信院士。
我国早在1948年，就由中华书局出书了傅佐严译的波利亚的文章《若何解题》，但影响很小。五十年代和六十年代，一些数学杂志上曾发表过先容波利亚解题想想的文章。1965年出书了他与哈代（G. H. Hardy）、李特伍德（J. E. Littlewood）合著的《不等式》(Inequalities) [6]的中译本。但是由于某种原因，波利亚的前述三部经典文章的中译本或目田后的重译本直到1980年才运行陆续出书：1980年出书了《数学的发现》第一卷中译本，1981年出书了第二卷中译本，1982.年出书了《若何解题》重译本，1984年出书了《数学与猜想》两卷中译本。此外，波利亚与塞格（G. Szegő）合著的另一册响应了他数学想想的天下名著《数学分析中的问题和定理》（Problems and Theorems in Analysis）[7]第一卷中译本也于1981年出书，而第二卷将于本年同坚韧读者碰头。无论若何说，这些文章中译本的出书，说明我国数学界和造就界一经对波利亚的数学想想给以了充分的扫视，而这些中译本的出书，也必将对我国的数学沟通和数学教学产生深远的影响。
为此，笔者不揣豪迈，试图对波利亚的数学想想作一些挑剔。
01
数学有两个侧面
数学是什么？数学有什么特色？天然波利亚莫得从玄学角度往还话这些问题，但他对数学的看法有其稀奇之处，听来发东说念主深省。
经常合计，数学是精密科学，它那从公理开赴的论证严格的演绎体系令东说念主叹为不雅止，它那准确的论断简直无可辩驳，但这只是数学的一个侧面。波利亚合计[3]，“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学，但它亦然别的什么东西。用欧几里得方法提议来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造流程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。这两个侧面齐像数学自身一样迂腐。但从某少量说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就莫得‘依葫芦画瓢’地把处于发现流程中的数学照原样提供给学生、或进修我方、或公众。”他说[2]：“以终末一路向西细主义形式出现的定型的数学，大略是仅含评释的纯论证性的材料，然而，数学的创造流程是与任何其他知识的创造流程一样的，在评释一个数学定理之前，你先得估计这个定理的内容，在你统统作出详备评释之前，你先得推测评释的想路。你先得把不雅察到的终结加以概述然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试，数学家的创造性使命后果是论证推理，即评释；但是这个评释是通过合情推理，通过猜想而发现的。”
这么，波利亚就肯定了不雅察、实验、归纳、类比、假定、估计等这些在其他天然科学沟通中常用的方法，在数学沟通中也起着不异进犯的作用。事实上，作出过首要孝顺的数学家，如欧拉、高斯等，齐终点强调不雅察、归纳、类比在数学沟通中的进犯作用。波利亚在文章[2]中，援用这些数学各人的话算作各章的题头语来强调这个不雅点：
因为流行的不雅点合计，不雅察只局限于能产生理性印象的具体对象，是以如果在经常称为隧说念数学的这门数学科学中，也合计不雅察是一件极为进犯的事的话，这看起来似乎颇为谬误，如果必须把数只是看作是纯理性的观念，咱们就很难默契不雅察和瞎想实验若何能用于沟通数的实质。事实上，正如我以终点充分的道理在此将要指出的那样，今天东说念主们所知说念的数的性质，简直齐是由不雅察所发现的，况兼早在用严格论证证据其真实性之前就被发现了。
——欧拉
我贵重类比胜于任何别的东西，它是我最确切赖的淳厚，它能揭示天然界的心事，在几何学中它应该是最谢却无情的。
——开普勒
以致在数学里，发现说念理的主要器具亦然归纳和类比。
——拉普拉斯
在数论中由于无意的红运颇为时常一路向西，是以用归纳法可萌生出极漂亮的新的说念理。
——高斯
这是历史的宝贵教学，这是在数学上得到过伟大成就的各人们的心声。由他们来公开地向东说念主们展示这些通向数学发现的路线，是特别令东说念主信服的。事实上，任何试验作念着数学沟通使命的东说念主齐在自发或不自发地哄骗着这一套方法。
在文章[2]中，波利亚征引数学史上的实例，机动地向东说念主们展现了这些数学各人们用不雅察、归纳、类比等方法发现数学说念理的流程，他对欧拉告捷地用类比喻法求得统共天然数平方的倒数之和这一史实挑剔说念：“欧拉告捷的决定性身分是踊跃。从严格逻辑角度来归来，他的作念法是谬误的。他把对某种情况来说尚未发明的法例应用到这种情况上了，即把对于一个代数方程的法例应用到一个非代数方程的情况中去。在严格的逻辑意旨下欧拉的要领是不允许遴荐的，但是他用了一门新兴科学中最好的成就来作念类比，而类比告诉他不错这么作念。”在严格逻辑意旨下是谬误的要指导致了数学说念理的发现，这体现了数学的两重性。
承认数学的两重性，即承认数学既是演绎体系又是归纳体系，既有完好的形式又有发展流程中的稚气，既是评释的科学又是实验的科学，这无论对于咱们进行数学沟通，如故对于数学教学和数学应用，齐瑕瑜常进犯的。波利亚本东说念主就把他这种意志运动于我方的数学教学实践，运动于对解题流程和数学方法论的沟通，以致运动于他的一切文章中。
波利亚强调数学开始于试验不雅察，不仅观念、定理、公式是由不雅察府上中归纳出来的，就连评释的方法亦然如斯。他把在沟通使命中对图形、数、式子的不雅察、变换、诡计看作是一种实验，并与动物学家对鸟类的不雅察、地质学家对化石的沟通、力学家所作念的实验视合并律。他还终点强调数学沟通应当从天文体、力学、光学、化学以及生物学中吸取养分。他以致在文章[2]中，辟“物理数学”专章来解释这个问题。他说[3]：“数学问题时常受到天然界的启发，更确切地说，是受到咱们对天然界的解释的启发。也不错说，数学问题的解不错受到天然界的启发，不外，物理学给咱们提供的踪影，往往不被咱们我方所接待，如不沟通物理沟通的启发和借助物默契释，那咱们对数学问题的不雅点就太微小了。”
02
东说念主类的最豪侈特征的一种行动
为什么要学习数学？波利亚的回话是明确的[5]：“咱们的任何一门学问齐由知识和期间构成。如果你对初等或高等数学的沟通使命的确有信得过的教学的话，那么你对下述这少量将绝不怀疑：在数学中，期间比只是掌合手一些知识要进犯得多。……什么是数学期间呢？数学期间便是解题智力——不仅能处罚一般的问题，而且能处罚需要某种进程的落寞想考、判断力、创始性和想象力的问题。”
波利亚还合计，解题不仅是学生学习数学的中心环节，而且是培养他们以后参加科学或分娩行动所必不可少的智能和想维民俗的进犯技巧。因为“解题意味着发现一条开脱疑难、绕过碎裂的路线，以达到一个弗成一蹴而就的主义。解题是智商的特殊成就，而智商又是东说念主类的资质。因此不错把解题看作是东说念主类的最豪侈特征的一种行动。”[5]这里，波利亚充分肯定了解题的一般造就价值。因此，他数十年如一日地进行对解题方法的沟通。作念法是，一方面我方多数解题，积聚教学，一方面在教学中仔细不雅察各式年级、各式进程的学生的解题流程。波利亚经常看到，有的学生当还不知说念题目说了什么时，就脱手去解题，有的学生靠近题目，无从下手，难鸣孤掌，而还有的学生作念完题一交了事。
“回话一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去作念一件你不肯干的事是可悲的”，然而他看到这种愚蠢可悲的事情却时常发生。进修的包袱感使他不遗余力去寻求一个医治这种“解题病”的药方。运行，他只是向学生提议一些要乞降解题扫视事项，经过多年的实践和反复修改，他终于制订出了一张《“若何解题”表》[3]，这张表把解题流程中东说念主的想维行动分为四个阶段，每个阶段则由一系列启发式问题、辅导或建议来调节东说念主们的想维行动，大体内容如下：
第一，弄清问题，主如若“未知数是什么？已知数据是什么？条目是什么？”
第二，拟订筹画，即寻求解题想路，通过一系列启发式的问题，帮你归来必要的知识、方法、模式，算作前进的动因。
第三，杀青筹画，即把解题流程用数学术语和符号严格表述出来。
第四，归来，即对解题流程进行检修、总结、膨大。
这么，波利亚就从东说念主们多数的解题实践中找到了一般规则，得到了解题流程的一般措施。这张《“若何解题”表》其后就发展成为他的那部名著《若何解题》。
开辟了这个一般的解题措施之后，波利亚还开辟了适于种种题主义特殊解题模式。在《数学的发现》第一部分中，他详备分析了“双轨迹”、“笛卡尔”、“递归”与“重复”这四个解题模式。接着在该书第二部分，又通过扩大这些模式的范围和发掘其共同身分而“通向一般方法”。
若何熟练地膨大这个一般的解题措施？波利亚回话说[5]：“解题是一种实践性期间，就像拍浮、滑雪或弹钢琴一样，只可通过师法和实践来学到它。”
03
翻开数学发现大门的金钥匙
数学家是若何发现定理和它的评释的？这是一个豪侈眩惑力的问题。在前东说念主沟通的基础上，波利亚总结出了数学家探索数学说念理的想维流程，找到了翻开数学发现大门的金钥匙。
波利亚最初指出[3]：“一个首要的发现不错处罚一个首要的问题，但在求除名何问题的流程中，也齐会有点滴的发现。”他说[4]：“一个挑升旨的问题的处罚，为处罚这个问题所花的努力和由此而得到的视力，不错打开放向一门新科学，以致一个科学新纪元的家数。”要想作出首要的数学发现，就必须醉心平时的解题，因为平时解题和数学发现之间，唯有难易进程上的诀别，而莫得实质的诀别和不可向上的边界。因此他主张，一个有包袱心的进修与其穷于搪塞繁琐的教学内容和过量的题目，还不如拿一个挑升旨但又不太复杂的题目，去匡助学生发掘题主义各个方面，使得学生通过这说念题目，就大略通过统共大门而参加一个完整的表面范围。比如，“评释√2是颠倒数”和“评释素数有无限多个”便是这么的好题目，因为前者通向实数的精准观念，尔后者是通向数论的家数。
翻开数学发现大门的金钥匙就在这类好题目之中。如果咱们按照《“若何解题”表》所轨则的要领去探索一个又一个好题目，咱们就把金钥匙拿到了手中，并掌合手了它的用法。
《“若何解题”表》的精华是它的第二部分，因为这部分收拢了东说念主们老是“以旧的拼集新的”这个一般的想维规则，这亦然处罚数学问题的一般想维规则：
你以前见过它吗？你是否见过形式上与它稍有不同的问题？……试想出一个具有疏导未知数或雷同未知数的熟悉的问题。
如果你在上述辅导的某一步泄露出一个想想的火花，得到了肯定的回话，那么你就前进了一步。但对于较清贫的题目，这种对“往时”的归来必须进一步深化，必须对已有的知识方法（包括已积聚的模式）进行调节、重组、变换、深入挖掘，以致付诸像“退一步想”、类比、狂妄、膨大这些技巧：
如果你弗成处罚所提议的问题，可先处罚一个与此关系的问题。你能弗成想出一个更容易入部属手的关系问题？一个更宽绰的问题？一个更特殊的问题？一个雷同的问题？你能否处罚这个问题的一部分？只是保持条目的一部分而舍去其余部分，这么对于未知数能细目到什么进程？它会若何变化？你能弗成从已知数据导出某些有用的东西？你能弗成想出适于细目未知数的其他数据？如果需要的话，你能弗成蜕变未知数或数据，或者二者齐蜕变，以使新未知数和新数据互相更接近？
这机动地刻画了东说念主们探索解题路线的想维流程。当欧拉靠近“哥尼斯堡七桥问题”时，他最初用不同的方法加以重述：以纸上的点代替河岸和岛屿，以连线代替桥，从而把问题转念成对图的极点进行奇偶性分析这个“更宽绰的”但亦然“更容易入部属手的”问题，写出了那篇创始了图论和拓扑学的着名论文。了解哥德巴赫猜想沟通历史的东说念主，齐知说念数学家们是若何“只是保持条目的一部分而舍去其余部分”，提议不啻一个“与此关系的”、“更容易入部属手的”问题，如“1+C”，然后再延续前进的。这些齐体现了数学沟通的一般想维方法。
波利亚按照我方对于数学发现的想想，与哈代、李特伍德合著了《不等式》，与塞格合著了《数学分析中的问题和定理》和《数学物理中的等周不等式》(Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics) [8]等数学名著。从书名上看，这些文章与雷同内容的文章并无不同之处，然而它们最进犯的特色在于对材料的悉心编排。这种编排充分自大了归纳、类比、膨大这些想维方法在发现数学说念理流程中的作用，并指令读者我方独偶而进行探索，去掌合手数学想维的一般规则。
04
对于数学教学的灼见真知
凭证对数学发展和数学一般造就价值的看法，凭证多年的数学教学教学和所征集的第一手府上，凭证对数学教学方法的历史和近况的分析沟通，波利亚提议了他对于数学教学的主义和方法、教学艺术、讲义编写和进修培训等一系列问题的爽直视力，提议了一系列对于数学教学的正确主张。
波利亚就当代社会对（高中）数学知识的使用情况进行了概算[4]，论断是：数学家等“分娩数学”的东说念主占1%，使用数学的东说念主占29%，而无谓数学的东说念主占70%。因此，他主张数学教学的贪图应当是普及学生的“一般文化教授”，“最初的和主要的是必须教会后生东说念主想考”。而这就意味着，进修不仅应当传授知识，而且应当发展学生哄骗知识的智力和精深的想维民俗，也便是发展学生的解题智力。波利亚指出，数学解题智力，除依赖数学专科知识外，还要依赖知识和精深的民俗。他主张教三分之一的数学和三分之二的知识。他说，通过数学教学教知识，这就为70%无谓数学的东说念主作念了善事，而使得那些用数学的东说念主也不吃亏，因为高中那少量数学，同他们异日要用的数学知识比起来，是一比无尽大。这里，波利亚是把“一般文化教授”、“会想考”、“解题智力”（终点依赖的“知识”）算作同义词使用的。“解题智力”便是自由地哄骗《“若何解题”表》的智力。这不仅是指按公理、定理、界说进行严格评释的智力及用图形或话语表述的智力，而且还包括诸如将不雅察到的情况加以一般化，作归纳的论证，从类比中进行呈文，在一个具体的问题中认出一个数学观念，或者从一个具体问题中抽象出一般的道理等进行“非形式”想维的智力。
为此，波利亚提议了三条教学原则：
1）促使学生主动学习的原则
波利亚信服，“学习任何东西的最好路线是靠我方去发现”。他援用十八世纪德国物理学家利希滕伯格（G. Lichtenberg）的话说，那些曾使你不得不切身脱手发现了的东西，会在你脑海里留住一条路线，一朝有所需要，你就不错从头哄骗它。他致力主张“想想应当从学生的脑子里产生出来，而进修只应起一个产婆的作用”。
2）最好动机的原则
波利亚合计，进修算作一个知识倾销员，他的包袱便是使学生信赖数学是道理的，使他们感到沟通的题目是道理的，值得努力去作念。为了有用地学习，学生应当对所学习的材料感酷爱并在学习行动中找到乐趣，这是最好的动机。此外，还有一些欠佳的动机，如不学习会带来处分等等。进修应当在教学中勤快促使学分娩生最好动机，如指令学生在解题前估计终结，说明内容的首要布景等。但天然，也要扫视其他动机。
3）阶段序进原则
这便是：通过行径和感受的探索阶段，参加术语、界说、评释等的形式化阶段，以及把所学材料消化摄取到我方的知识体系中庸统共精神天下中的同化阶段。波利亚合计，现行讲义中配备的“旧例习题”偶合容易让学生无情“探索”和“同化”这两个阶段。而《“若何解题”表》的一、二部分属于探索阶段，第三部分属于形式化阶段，第四部分属于同化阶段。他建议：高等中学应那时常先容一些带有挑战性的题目，一些具有丰富布景并值得深入沟通的题目，一些能从中试吃到科学家使命的题目。
要杀青这些原则，就要有掌合手了这些原则的进修。波利亚指出，进修要对我方讲的课题充满酷爱和深入默契，要懂得学习的最好路线温文于了解学生，在传授知识的同期，要培养学生具有合梦想维的智力和丝丝入扣地使命的民俗，既教会合理估计，又教会严谨评释，对具体题目要扫视其一般价值，教诲方法要有一定技巧，要多建议而不要免强学生收受。要培育顺应这些要求的进修，就要在业务培训的同期，上好“方法”课，方法课要由既少见学沟通教学又有教学教学的进修教诲，最好的形式是“解题讲习班”。
要杀青这些原则，还要有能体现这些原则的讲义。波利亚在这方面作念出了规范，他写的书不仅丰富多彩，机动道理，而且体现出“数学有两个侧面”的特色，不是使读者被迫地收受现成知识和作家的不雅点，而是和读者沟通，为读者提供师法的例子和老到的契机，促使他们我方去发现、去想考、去采纳，使他们不仅掌合手了知识，而且更进犯的是，掌合手了知识的开始和创造的路线。
波利亚的这些主张是针对好意思国数学教学的近况而提议来的，但对我国的数学教学，也许不无参考价值。
05
科学发现的逻辑——合情推理
吻玉足对数学想维规则的沟通，使波利亚发现在一般的科学想维中，除“评释推理”（即演绎推理）除外，还有另一种推理，它的具体阐述形式是归纳、类比、狂妄、膨大、估计、检修等。波利亚看到，这是天然科学家由不雅察多数府上飞腾到作出论断和覆按论断时习用的方法。在社会生计中，大夫会诊疾病，法官审判案件，军事家指挥战斗，处处齐在用着这种推理。但很可惜，这种推理在逻辑学中莫得珍爱加以沟通。波利亚长远感到这种推理对科学沟通和科学发现的首要意旨，因而沟通了这种推理的逻辑国法。他从各门学科和社会生计中征集多数府上，经过归纳，终于发现，在这种推理中，像“评释逻辑”那样的国法是存在的。
他给这种推理起的称呼“plausible reasoning”，直译是“确切的推理”，便是“有一定进程可靠性的推理”，也有“合情”、“似然”、“似真”的道理，现在译成“合情推理”。波利亚合计，运动着任何科学发现的想维流程的，主如若合情推理，但算作讲明和沟通合情推理的妥贴例子的，是数学。因此他写了一部专著《数学与猜想》来讲明我方的不雅点。其第一卷《数学中的归纳与类比》以数学为例来沟通归纳、类比、膨大、狂妄、估计等推理方法的性质和作用，而第二卷《合情推理模式》则珍爱于开辟推理模式和逻辑国法，并与传统的形式逻辑“三段论法”加以对比。这部文章写得既少见学的严谨性又有演义的魔力，读来山外有山。
波利亚指出，评释逻辑主如若把真假命题分明晰，而合情推理则是要把可靠进程不同的命题相区别。举例，由命题（假定）A可推出B，A真则B真，B假则A假，这是三段论推理。如果由A可推出B，而B真，咱们对A能说些什么呢？据“三段论法”咱们只可说：“A可真可假”。但在科学想维中，一个命题的推论被证实，对命题为确切可能性肯定是有影响的，这便是“A为确切可能性加多了”，于是有如下的“归纳推理基本模式”：
波利亚从东说念主们的科学想维中，总结出不少归纳推理基本模式的变式，如
便是：若命题A的一系列推论被证实，或其一个极不无为的推论被证实，则A将大大普及可靠性。不异，咱们有“类比推理基本模式”终点变式：
便是，若命题A的雷同命题被证实，则A更可靠；若A的一系列雷同命题被证实，则A大大普及可靠性。
由于在合情推理模式中引进了“命题的可靠性”这一观念，波利亚很天然地猜想用概率论中的观念和方法来刻画和沟通合情推理国法，但是这种尝试遭逢了清贫。尽管如斯，咱们不错看到，波利亚在这方面的使命如故豪侈启发性的。
终末，咱们想指出：在现时兴起的想维科学沟通中，对合情推梦想维规则的沟通是否可占一隅之地呢？因此，咱们援用波利亚对于论证推理与合情推理的一段话来扫尾本文：“无疑，论证推理是可靠的、无可置辩的和终决的。合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的。论证推理在科学中的渗入进程恰好和数学在科学中的渗入进程一样，但论证推理自身（如数学自身那样）并弗成产生对于咱们周围天下实质上的新知识。咱们所学到的对于天下的任何新东西齐包含着合情推理，它是咱们日常事务中所关爱的仅有的一种推理。”[2]
